2) Wykonaj dzielenie wielomianów

\( a) \left(x^{5}+8 x^{4}+5 x^{3}-36 x^{2}+30 x-8\right):\left(x^{2}+3 x-4\right) \)

\( b)\left(2 x^{5}+9 x^{4}-x^{3}-12 x^{2}+47 x+44\right):\left(x^{2}+6 x+8\right) \)

\( c) \left(x^{5}+2 x^{3}+10 x^{2}-17 x+3\right):\left(x^{2}-x+6\right) \)

3) Rozłóż wielomian na czynniki:
$$ \begin{matrix} a) \: W(x)=(x-1)(x^{2}+3x)-4(x-1) && b) \: W(x)=(2x-3)(x+2)+x^{3}+2x^{2} \\ \end{matrix} $$

4) Rozłóż wielomian na czynniki:
$$ \begin{matrix} a) \: W(x)=2x^3-11x^2-7x+6 && b) \: W(x)=2x^4-x^3+3x^2-3x-9 \\ \end{matrix} $$

5) Rozłóż wielomian na czynniki:
$$ \begin{matrix} a) \: W(x)=4(x^2-6x-4)^2-36 && b) \: W(x)=9-(x^3-6)^2 \\ \end{matrix} $$

6) Przedstaw wielomian \(W(x)=x^{4}-2 x^{3}-3 x^{2}+4 x-1\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potegach są równe jeden.      (CKE-maj 2007)

7) Wielomian \(W(x)=x^{4}+x^{3}-8 x^{2}+23 x-5\) przedstaw w postaci iloczynu wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych.

8) Wielomian \(W(x)=x^{4}-2 x^{3}+15 x-18\) przedstaw w postaci iloczynu wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych.

9) Wiedząc, że pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=x^{3}+a x^{2}-10 x+b\) jest liczba \(-4\) oraz \(W(-1)=-12\) wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

10) Wielomian \(W(x)\) przy dzieleniu przez dwumian \((x+5)\) daję resztę \(-12\), a przy dzieleniu przez \((x+1)\) daję resztę \(-4\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(P(x)=(x+5)(x+1)\)

11) Wielomian \(W(x)\) przy dzieleniu przez dwumian \((x-2)\) daję resztę \(9\) , a przy dzieleniu przez \((x+3)\) daję resztę \(-6\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(P(x)=x^{2}+x-6\).

12) Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez trójmian kwadratowy \(P(x)=x^{2}+2 x-8\) jest równa \(R(x)=-5 x+2\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez dwumian \((x+4)\).       (Materiał pobrany z portalu www.zadania.info)

13) Dany jest wielomian \(W(x)=2 x^{3}+a x^{2}-13 x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez \((x+2)\) jest równa \(20\). Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).         (Materiał pobrany z portalu www.zadania.info)

14) Wyznacz wartości \(a\) i \(b\) współczynników wielomianu \(W(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+1\) wiedząc, że \(W(2)=7\) oraz że reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \((x-3)\) jest równa \(10\).       (CKE-maj 2010)

15) Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby \(1,3,5\). Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy \(\frac{1}{2}\). Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez \(24\).   (CKE -czerwiec 2013)

16) Wielomian \(W(x)=x^{3}+c x^{2}-10 x+d\) jest podzielny przez dwumian \(P(x)=x+2\) Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(Q(x)=x-1\) otrzymujemy resztę \(30\). Oblicz pierwiastki wielomianu \(W(x)\) i rozwiąż nierówność \(W(x) \geq 0\).      (CKE, matura – czerwiec 2018)

17) Wielomian \(W(x)=x^{4}+3 x^{3}+a x^{2}+b x+c\) jest podzielny przez trójmian \(x^{2}+3 x-10\), a przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę \(-36\). Wyznacz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) wielomianu.       (Materiał pobrany z portalu www.zadania.info)