2) Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że jej wykres przechodzi przez punkty :

$$ \begin{matrix} a) \: A=(-3,2), B=(6,5) && b) \: A=(-5,2), B=(1,-2) \\ \end{matrix} $$

3) Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że :

$$ \begin{matrix} a) \: f(2)=0, f(3)=2 && b) \: f(-7)=7, f(7)=-1 \\ \end{matrix} $$

4) Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej \(f(x)\) do osi OX

$$ \begin{matrix} a) \: f(x)=\sqrt{3} x+2 \sqrt{3} && b) \: f(x)=-\sqrt{3} x+\frac{\sqrt{3}}{3} && c) \: f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3} x-1 \\ \end{matrix} $$

5) Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że wykres tej funkcji jest nachylony do osi OX pod kątem \(\alpha\) oraz przechodzi przez punkt \(A\) :

$$ \begin{matrix} a) \: \alpha=30^{0}, A=(0, \sqrt{3}) && b) \: \alpha=120^{\circ}, A=(0,3) && c) \: \alpha=135^{0}, A=(-2,6) \\ \end{matrix} $$

6) Sprawdź czy punkty są współliniowe :

$$ a) \: A=(-5,-4), B=(5,35), C=(-3,-6) $$

$$ b) \: A=(2,6), B=(26,-66), C=(5,-3) $$

7) Wyznacz miejsca zerowe podanej funkcji liniowej \(f(x)\) (o ile istnieją) :

$$ \begin{matrix} a) \: f(x)=x+5 && b) \: f(x)=-3x+12 && c) \: f(x)=(\sqrt{2}-1)x-2 \\ \end{matrix} $$

8) Do wykresu funkcji \(f(x)=2 x+b\) należy punkt \(A=(1,6)\). Wyznacz punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych.

9) Do wykresu funkcji \(f(x)=a x-3\) należy punkt \(A=(2,-2)\). Wyznacz punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych.

10) Funkcja liniowa opisana jest wzorem \(f(x)=\frac{3}{4} x+3\)
a) Naszkicuj wykres funkcji.
b) Wyznacz wartości argumentów, dla których \(f(x) \geq 0\).
c) Oblicz wartość wyrażenia \(2 \cdot f(4)-f(0)\).

11) Funkcja liniowa opisana jest wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3} x+2\)
a) Naszkicuj wykres funkcji.
b) Wyznacz wartości argumentów, dla których \(f(x)<0\).
c) Oblicz wartość wyrażenia \(-3 \cdot f(6)+f(9)\).

12) Zapisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu funkcji i przechodzi przez dany punkt:

$$ \begin{matrix} a) \: y=2 x+2 \quad \mathrm{~A}=(3,-4) && b) \: y=\frac{1}{4} x+3 \quad \mathrm{B}=(0,-2) \\ \end{matrix} $$

13) Zapisz wzór funkcji, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji i przechodzi przez dany punkt:

$$ \begin{matrix} a) \: y=-2 x+1 \quad \mathrm{~A}=(-2,3) && b) \: y=\frac{1}{2} x+2 \quad \mathrm{B}=(0,4) \\ \end{matrix} $$

14) Napisz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, którego interpretację graficzną przedstawia poniższy rysunek. Podaj jego rozwiązanie, o ile istnieje

a)

b)

c)

15) Wskaż układ sprzeczny, oznaczony i nieoznaczony, jeśli:

$$ \begin{matrix} a) \: \left\{\begin{array}{c}
y=\frac{x}{2}+5 \\
3 x+2 y=-6
\end{array}\right. && b) \: \left\{\begin{array}{c}
2 x-5=-3 y \\
12 x+18 y=30
\end{array}\right. && c) \: \left\{\begin{array}{l}
2 x+4 y=10 \\
3 x+6 y=18
\end{array}\right. \\ \end{matrix} $$

16) Pod układem równań z niewiadomymi \(x\) i \(y\) znajduje się graficzne rozwiązanie tego układu. Wyznacz wartość \(k\) i \(m\).

$$ a) \: \left\{\begin{array}{l}
y=(m-4) x+4 \\
y=(3 k-7) x-2
\end{array}\right. $$

$$ b) \: \left\{\begin{array}{c}
y=(m-7)+5 m \\
m y=k x-2 k
\end{array}\right. $$

17) Rozwiąż układ równań metodą podstawiania

$$ \begin{matrix} a) \: \left\{\begin{array}{c}
y-4 x=-17 \\
5 y-x=10
\end{array}\right. && b) \: \left\{\begin{array}{l}
\frac{4}{5} x+\frac{2}{5} y=2 \\
\frac{3}{2} x+\frac{5}{2} y=\frac{25}{2}
\end{array}\right. \\ \end{matrix} $$

18) Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

$$ \begin{matrix} a) \: \left\{\begin{array}{c}
y-2 x=-4 \\
y+x=5
\end{array}\right. && b) \: \left\{\begin{array}{l}
y=\frac{x-2 y+4}{3} \\
y+3=4 x
\end{array}\right. \\ \end{matrix} $$

19) Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji liniowej \(y=a x+b\) takiej, że
$$
a>0 \text { i } b<0
$$

CKE, matura – sierpień 2010

20) O funkcji liniowej f wiadomo, że \(f(1)=2\). Do wykresu tej funkcji należy punkt \(P=(-2,3)\). Wzór funkcji \(f\) to
CKE – maj 2014
$$ \begin{matrix} A. f(x)=-\frac{1}{3} x+\frac{7}{3} &
B. f(x)=-\frac{1}{2} x+2 &
C. f(x)=-3 x+7 &
D. f(x)=-2 x+4 \\ \end{matrix} $$

21) Na prostej o równaniu \(y=a x+b\) leżą punkty \(\mathrm{K}=(1,0), \mathrm{L}=(0,1)\). Wynika stąd, że    CKE, matura – czerwiec 2014
$$ \begin{matrix}A. a=-1 \: \text{i} \: b=1 &
B. a=1 \: \text{i} \: b=-1 &
C. a=-1 \: \text{i} \: b=-1 &
D. a=1 \: \text{i} \: b=1 \end{matrix} $$

22) Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A=(-4,3)\) oraz \(B=(8,7)\), jest równy.     CKE, matura – sierpień 2015

$$ \begin{matrix}A. a=3 &&&
B. a=-1 &&&
C. a=\frac{5}{6} &&&
D. a=\frac{1}{3} \end{matrix} $$

23) Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1,2 m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą?
CKE, matura-sierpień 2016

$$ \begin{matrix}A. y=2x+5 &
B. y=2x+6 &
C. y=2x+7 &
D. y=2x+8 \end{matrix} $$

24) Wskaż \(\mathrm{m}\), dla którego funkcja liniowa \(f(x)=(m-1) x+6\) jest rosnąca         CKE, matura – sierpień 2010

$$ \begin{matrix}A. m=-1 &&&
B. m=0 &&&
C. m=1 &&&
D. m=2 \end{matrix} $$

25) Prosta \(\mathrm{k}\) ma równanie \(y=2 x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\)
CKE, matura – maj 2011

$$ \begin{matrix}A. y=-2x+3 &
B. y=2x+1 &
C. y=2x+5 &
D. y=-x+1 \end{matrix} $$

26) Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3} x+2\)
CKE, matura – sierpień 2012

$$ \begin{matrix}A. y=3x &&
B. y=-3x &&
C. y=3x+2 &&
D. y=\frac{1}{3}x+2 \end{matrix} $$

27) Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie        CKE, matura – czerwiec 2013

$$ \begin{matrix}A. x-2y-4=0 &
B. x=2y+4=0 &
C. x-2y+4=0 &
D. x+2y-4=0 \end{matrix} $$

28) Rozwiązaniem układu równań \(\left\{\begin{array}{l}3 x-5 y=0 \\ 2 x-y=14\end{array}\right.\) jest para liczb \((\mathrm{x}, \mathrm{y})\) taka, że        CKE, matura – sierpień 2013

$$ \begin{matrix}A. x<0 \: \text{i} \: y<0 &
B. x<0 \: \text{i} \: y>0 &
C. x>0 \: \text{i} \: y<0 &
D. x>0 \: \text{i} \: y>0 \end{matrix} $$

29) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań         CKE, matura-maj 2014

$$ \begin{matrix}A. \left\{\begin{array}{c}y=x+1 \\ y=-2 x+4\end{array}\right. &
B. \left\{\begin{array}{l}y=x-1 \\ y=2 x+4\end{array}\right. &
C. \left\{\begin{array}{c}y=x-1 \\ y=-2 x+4\end{array}\right. &
D. \left\{\begin{array}{c}y=x+1 \\ y=2 x+4\end{array}\right. \end{matrix} $$

30) Punkt \(C=(0,2)\) jest wierzchołkiem trapezu \(\mathrm{ABCD}\), którego podstawa \(\mathrm{AB}\) jest zawarta \(\mathrm{w}\) prostej o równaniu \(y=2 x-4\). Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę \(CD\).       CKE, matura – maj 2014

$$ \begin{matrix}A. y=\frac{1}{2}x+2 &
B. y=-2x+2 &
C. y=-\frac{1}{2}x+2 &
D. y=2x+2 \end{matrix} $$

31) Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3 x\). Wówczas prosta \(\mathrm{k}\) przecina oś \(\mathrm{Ox}\) układu współrzędnych w punkcie.       CKE, matura-czerwiec 2015

$$ \begin{matrix}A. (-12,0) &&&
B. (-2,0) &&&
C. (2,0) &&&
D. (6,0) \end{matrix} $$

32) Rozwiązaniem układu równań \(\left\{\begin{array}{l}x+y=1 \\ x-y=b\end{array}\right.\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że.        CKE, matura-czerwiec 2017

$$ \begin{matrix}A. b<-1 &&&
B. b=-1 &&&
C. -1<b<1 &&&
D. b \ge 1 \end{matrix} $$

33) Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \(\left\{\begin{array}{c}x+3 y=-5 \\ 3 x-2 y=-4\end{array}\right.\). Wskaż ten rysunek.
CKE, matura – sierpień 2015

34) Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe \(\mathrm{k}\) i \(1\) o równaniach \(y=a x+b\) oraz \(y=m x+n\). Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi         CKE, matura-czerwiec 2016

$$ \begin{matrix}A. a m>0 \: \text{i} \: b n>0 &
B. a m>0 \: \text{i} \: b n<0 &
C. a m<0 \: \text{i} \: b n>0 &
D. a m<0 \: \text{i} \: b n<0 \end{matrix} $$

35) Prosta \(\mathrm{k}\) przechodzi przez punkt \(\mathrm{A}=(4,-4)\) i jest prostopadła do osi \(\mathrm{Ox}\). Prosta \(\mathrm{k}\) ma równanie
CKE, matura – sierpień 2017

$$ \begin{matrix}A. x-4=0 &
B. x-y=0 &
C. y+4=0 &
D. x+y=0 \end{matrix} $$

36) Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej \(y=6 x-10\) przechodzącej przez punkt \(\mathrm{A}=(-1,2)\) oraz równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzącej przez punkt \(\mathrm{B}=(0,-3)\)
Materiał pobrany z zadania.info

37) Dla jakich współczynników \(a\) i \(c\) układ \(\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8 \\ a x+4 y=c\end{array}\right.\)
Materiał pobrany z zadania.info
a) Ma nieskończenie wiele rozwiązań
b) Jest sprzeczny

38) Dane są proste \(k\): \(y=2 x-7\),\(1\): \(y=-2 x+5\)
a) Napisz równanie prostej \(\mathrm{m}\) przechodzącej przez punkt \((0,-3)\), równoległej do prostej \(k\)
b) Napisz równanie prostej \(n\) przechodzącej przez punkt \((-1,3)\), równoległej do prostej \(1\)
c) Oblicz pole figury ograniczonej prostymi: \(\mathrm{k}, \mathrm{l}, \mathrm{m}, \mathrm{n}\)

39) Dana jest funkcja liniowa \(f(x)=3 x-1\). Rozwiąż nierówność \(f(x+3) \leq f(1-x)\)         Materiał pobrany z zadania.info

40) Funkcja liniowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=3 x+b\), dla \(x \in \mathbb{R}\). Wyznacz współczynnik \(b\), wiedząc, że \(f(x-2)=3 x-5\)
Materiat pobrany z zadania.info

41) Wyznacz wzór funkcji liniowej \(f\), która dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) spełnia warunek \(f(2 x-1)=-6 x+4\).    Materiał pobrany z zadania.info

42) Znajdź wszystkie funkcje liniowe określona na zbiorze \(<-4,2>\), których zbiorem wartości jest przedział \(<-2,10>\quad\) Materiał pobrany z zadania.info

43) Wyznacz wzór funkcji liniowej \(\mathrm{f}\) wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)>8\) jest przedział \((-\infty,-1)\), a zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \leq-2\) jest przedział \(<4,+\infty)\).       Materiał pobrany z zadania.info